Tổng hợp lí thuyết chương 1: Những điểm quan trọng về hàm số

Video ôn tập chương 1 toán 12

Hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học, chúng ta sẽ cùng điểm qua những điều quan trọng về hàm số trong chương này.

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số được xác định dựa trên đạo hàm của hàm số đó.

  • Nếu đạo hàm $f'(x) > 0$ trên một khoảng nào đó, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
  • Ngược lại, nếu đạo hàm $f'(x) < 0$ trên một khoảng nào đó, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Để hàm số đồng biến trên một khoảng $[a, b]$, ta có điều kiện sau:

  • Đạo hàm $f'(x) geq 0$ với mọi $x in [a, b]$.

Để hàm số nghịch biến trên một khoảng $[a, b]$, ta có điều kiện sau:

  • Đạo hàm $f'(x) leq 0$ với mọi $x in [a, b]$.

2. Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

  • Đối với điểm cực đại, ta có dấu hiệu sau:

    • Nếu $f'(x_0) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định tại $x_0$ và đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$, thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
  • Đối với điểm cực tiểu, ta có dấu hiệu sau:

    • Nếu $f'(x_0) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định tại $x_0$ và đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$, thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta có quy tắc sau:

  • Quy tắc chung (thường dùng cho $D$ là một khoảng):

    • Tính đạo hàm $f'(x)$ và giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm trên $D$.
    • Lập bảng biến thiên cho hàm số trên $D$.
    • Dựa vào bảng biến thiên và định nghĩa từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
  • Quy tắc riêng (dùng cho $[a, b]$):

    • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $[a, b]$.
    • Tính đạo hàm $f'(x)$ và giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm trên $[a, b]$.
    • Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$,… với các $x_1$, $x_2$,… là các nghiệm tìm được.
    • So sánh các giá trị và kết luận.

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận là các đường thẳng mà đồ thị hàm số tiệm cận đến khi $x$ tiến đến một giá trị cụ thể.

  • Đường thẳng $x = a$ là tiệm cận dọc của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu một trong các điều kiện sau đúng:

    • $lim{x to a^+} y = +infty$ hoặc $lim{x to a^+} y = -infty$ hoặc $lim{x to a^-} y = +infty$ hoặc $lim{x to a^-} y = -infty$.
  • Đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu một trong các điều kiện sau đúng:

    • $lim{x to +infty} y = b$ hoặc $lim{x to -infty} y = b$.

5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số giúp ta có cái nhìn tổng quan về sự biến thiên của hàm số trên một khoảng.

(a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
(b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$.
(c) Các dạng đồ thị hàm số $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$.

  • Tập xác định: $D = mathbb{R}backslashleft{-frac{d}{c}right}$.
  • Đạo hàm: $y = frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}$.
    • Nếu $ad – bc > 0$, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
    • Nếu $ad – bc < 0$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.
  • Đồ thị hàm số có: Tiệm cận dọc: $x = -frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y = frac{a}{c}$.
  • Đồ thị có tâm đối xứng: $Ileft(-frac{d}{c}, frac{a}{c}right)$.

6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

(a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số:

  • Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ có đồ thị lần lượt là $(C)$ và $(C’)$.
  • Lập phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(C’)$: $f(x) = g(x)$.
  • Giải phương trình để tìm $x$, từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
  • Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của $(C)$ và $(C’)$.

(b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba:

  • Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị).

    • Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F(x, m) = 0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$).
    • Cô lập tham số $m$ để phương trình có dạng $m = f(x)$.
    • Lập bảng biến thiên cho hàm số $y = f(x)$.
    • Dựa vào giả thiết và bảng biến thiên để suy ra $m$.
  • Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

    • Lập phương trình hoành độ giao điểm $F(x, m) = 0$.
    • Nhẩm nghiệm: Giả sử $x = x_0$ là một nghiệm của phương trình.
    • Phân tích: $F(x, m) = 0 Leftrightarrow (x – x_0)g(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = x_0 g(x) = 0end{array} right.$ (phương trình $g(x) = 0$ là một phương trình bậc 2 ẩn $x$ tham số $m$).
    • Dựa vào yêu cầu của bài toán để xử lý phương trình bậc 2 $g(x) = 0$.

Avatar of Đặng Cường
Đặng Cường là một tác giả nổi tiếng và tâm huyết với lĩnh vực giáo dục, công nghệ, ẩm thực, thời trang và phong thuỷ. Với hơn 10 năm kinh nghiệm trong ngành và một kiến thức sâu rộng về các lĩnh vực này, Đặng Cường đã đóng góp đáng kể vào sự phát triển và chia sẻ kiến thức với cộng đồng qua trang web Uuc.edu.vn.

Related Posts

Trường phổ thông dân tộc bán trú tiểu học và trung học cơ sở xã Tân Dân,  ngôi trường bán trú hình thành từ những bè cá

Học tập tại trường phổ thông dân tộc bán trú Tân Dân: Hành trình từ những bè cá

Cách xa trung tâm huyện lỵ Mai Châu 80 km, Tân Dân là một xã khó khăn khiến người ta chỉ có thể đến bằng con đường…

HỌC TRUNG CẤP NGHỀ CÓ BẰNG CẤP 3 KHÔNG? Những câu hỏi thường gặp

HỌC TRUNG CẤP NGHỀ CÓ BẰNG CẤP 3 KHÔNG? Những câu hỏi thường gặp

Học Trung cấp nghề có bằng cấp 3 không?Có thể bạn quan tâm Sở GD&ĐT Hà Nội hướng dẫn cách đăng ký nguyện vọng vào lớp 10…

Công Bố Mức Học Phí Các Trường Quốc Tế Tại TPHCM

Video học phí trường việt anh tphcm Xem thêm : Tổng hợp 15 đề toán ôn tập hè lớp 1 lên 2 có đáp ánChào mừng đến…

6 lớp tiền tiểu học Hà Nội tốt nhất mà ba mẹ có thể tin tưởng

6 lớp tiền tiểu học Hà Nội tốt nhất mà ba mẹ có thể tin tưởng

Tiền tiểu học là giai đoạn quan trọng trong sự phát triển của trẻ, từ mầm non chuyển lên tiểu học. Đây là giai đoạn để trẻ…

Chương trình tích hợp cấp 1 và những điều phụ huynh cần biết

Chương trình tích hợp cấp 1: Những điều phụ huynh cần biết

Chương trình tích hợp lớp 1 được nhiều trường áp dụng, bởi phương pháp dạy này giúp học sinh tiếp cận cả chiều rộng và chiều sâu…

Đánh giá Trường THPT Văn Hiến Hoàn Kiếm Hà Nội có tốt không?

Đánh giá Trường THPT Văn Hiến Hoàn Kiếm Hà Nội có tốt không?

Trường THPT Văn Hiến – Hoàn Kiếm Hà Nội được đánh giá là một trong những trung tâm giáo dục uy tín nhất tại quận Hoàn Kiếm….